Algèbre linéaire Exemples

$\sqrt{\frac{\sin (x)}{x}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\frac{\sin (x)}{x}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{\sin (x)}{x} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$\sin (x) = 0$

Étape 2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 2.5

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 2.6

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 2 π n, π + 2 π n$

Étape 2.9

Consolidez les solutions.

$x = 0, 2 π n, π + 2 π n$

Étape 2.10

Déterminez le domaine de $\frac{\sin (x)}{x}$ .

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Étape 2.10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sin (x)}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2.10.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 2.11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$

$2 π < x < 3 π$

Étape 2.12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 2.12.1.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{\sin (2)}{2} \geq 0$

Étape 2.12.1.3

Le côté gauche $0.45464871$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $π < x < 2 π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $π < x < 2 π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 5$

Étape 2.12.2.2

Remplacez $x$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{\sin (5)}{5} \geq 0$

Étape 2.12.2.3

Le côté gauche $- 0.19178485$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $2 π < x < 3 π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 π < x < 3 π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 2.12.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{\sin (8)}{8} \geq 0$

Étape 2.12.3.3

Le côté gauche $0.12366978$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.12.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0 < x < π$ Vrai

$π < x < 2 π$ Faux

$2 π < x < 3 π$ Vrai

$0 < x < π$ Vrai

$π < x < 2 π$ Faux

$2 π < x < 3 π$ Vrai

Étape 2.13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 + 2 π n \leq x \leq π + 2 π n$ ou $2 π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.14

Associez les intervalles.

$2 π n \leq x \leq π + 2 π n or 2 π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sin (x)}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 5